【題目】現代足球運動是世上開展得最廣泛、影響最大的運動項目，有人稱它為“世界第一運動”．早在2000多年前的春秋戰國時代，就有了一種球類游戲“蹴鞠”，后來經過阿拉伯人傳到歐洲，發展成現代足球．1863年10月26日，英國人在倫敦成立了世界上第一個足球運動組織——英國足球協會，并統一了足球規則．人們稱這一天是現代足球的誕生日．如圖所示，足球表面是由若干黑色正五邊形和白色正六邊形皮圍成的，我們把這些正五邊形和正六邊形都稱為足球的面，任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱．已知足球表面中的正六邊形的面為20個，則該足球表面中的正五邊形的面為______個，該足球表面的棱為______條．
【答案】12 90
【解析】
由題目分析，可設這個足球有正五邊形皮子x塊，則根據題意可得等量關系式：正六邊形的塊數×3=正五邊形的塊數×5，由此可以解出正五邊形個數，根據兩條邊組成一條棱，因此可求棱的條數．
足球每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起；
每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，
另3條邊則與其他白色皮子的邊縫在一起.
所以設這個足球有x塊正五邊形，一共有5x條邊，其中白皮三條邊和黑皮相連，
又足球表面中的正六邊形的面為20個，
根據題意可得方程：
，
解得
，
該足球表面中的正五邊形的面為12個；
因為任何相鄰兩個面的公共邊叫做足球的棱，
所以每條棱由兩條邊組成，
該足球表面的棱為：
條.
故答案為：12；90.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
平面
，
，
，且
，
，
，
分別為棱
，
，
，
的中點．
（I）證明：直線
與
共面；
（Ⅱ）證明：平面
平面
；并試寫出到平面
的距離（不必寫出計算過程）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心為原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
，且橢圓C的長軸是圓
的一條直徑.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若不過原點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與圓M交于P、Q兩點，且直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】西湖小學為了豐富學生的課余生活開設課后少年宮活動，其中面向二年級的學生共開設了三門課外活動課：七巧板、健美操、剪紙.203班有包括奔奔、果果在內的5位同學報名參加了少年宮活動，每位同學只能挑選一門課外活動課，已知每門課都有人選，則奔奔和果果選擇了同一個課外活動課的選課方法種數為（ ）
A.18B.36C.72D.144
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已過拋物線
：
的焦點
作直線
交拋物線于
，
兩點，以，兩點為切點作拋物線的切線，兩條直線交于
點.
（1）當直線平行于
軸時，求點的坐標；
（2）當
時，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
，
，直線
、
相交于點
，且它們的斜率之積為
，記動點的軌跡為曲線
。
（1）求曲線的方程；
（2）過點
的直線與曲線交于
、
兩點，是否存在定點
，使得直線
與
斜率之積為定值，若存在，求出
坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，數列
的前n項和為
，且
；數列
的前n項和為
，且滿足
，且
.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的通項公式；
（3）設
，問：數列
中是否存在不同兩項
，
（
，i，
），使
仍是數列中的項?若存在，請求出i，j；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數）.在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；
（2）若與相交于
兩點，求
的面積.
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