Question

12．函數f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
（1）當a=3時，求函數f（x）的定義域；
（2）若g（x）=f（x）-log_a（3+ax），請判定g（x）的奇偶性；
（3）是否存在實數a，使函數f（x）在[2，3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的性質求出函數的定義域即可；（2）根據奇函數的定義證明即可；（3）令u=3-ax，求出u=3-ax在[2，3]上的單調性，根據f（x）的最大值，求出a的值即可．

解答 解：（1）由題意：f（x）=log₃（3-3x），
∴3-3x＞0，即x＜1，…（2分）
所以函數f（x）的定義域為（-∞，1）．…（3分）
（2）易知g（x）=log_a（3-ax）-log_a（3+ax），
∵3-ax＞0，且3+ax＞0，
∴$-\frac{3}{a}＜x＜\frac{3}{a}$，關于原點對稱，…（4分）
又∵g（x）=log_a（3-ax）-log_a（3+ax）=${log_a}\frac{3-ax}{3+ax}$，
∴g（-x）=${log_a}\frac{3+ax}{3-ax}$=-${log_a}\frac{3-ax}{3+ax}$=-g（x），…（5分）
∴g（x）為奇函數．…（6分）
（3）令u=3-ax，∵a＞0，a≠1，
∴u=3-ax在[2，3]上單調遞減，…（7分）
又∵函數f（x）在[2，3]遞增，∴0＜a＜1，…（8分）
又∵函數f（x）在[2，3]的最大值為1，
∴f（3）=1，…（9分）
即f（3）=log_a（3-3a）=1，
∴$a=\frac{3}{4}$．…（10分）

點評 本題考查了函數的定義域問題，考查函數的奇偶性，單調性、最值問題，是一道中檔題．