Question

7．給出下列四個命題：
①函數y=|x|與函數y=（$\sqrt{x}$）²表示同一個函數；
②奇函數的圖象一定通過直角坐標系的原點；
③若函數f（x）的定義域為[0，2]，則函數f（2x）的定義域為[0，4]；
④設函數f（x）是在區間[a，b]上圖象連續的函數，且f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區間[a，b]上至少有一實根；
其中正確命題的序號是④（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①兩函數的定義域不同，不是同一函數，①錯誤；②舉反例如函數y=$\frac{1}{x}$，②錯誤；③求函數f（2x）的定義域可判斷③錯誤；④由根的存在性定理可判斷錯誤．

解答 解：①函數y=|x|的定義域為R，函數y=（$\sqrt{x}$）²定義域為[0，+∞），兩函數的定義域不同，不是同一函數，①錯誤
②函數y=$\frac{1}{x}$為奇函數，但其圖象不過坐標原點，②錯誤
③∵函數f（x）的定義域為[0，2]，要使函數f（2x）有意義，需0≤2x≤2，即x∈[0，1]，故函數f（2x）的定義域為[0，1]，錯誤；
④函數f（x）是在區間[a．b]上圖象連續的函數，f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區間[a，b]上至少有一實根，④正確．
故答案為④．

點評 本題綜合考查了函數的概念，函數的三要素，函數的奇偶性及其圖象，函數圖象的平移變換，抽象函數的定義域求法，根的存在性定理．