Question

已知函數，其中是 的導函數。

（1）若在處的導數為4，求實數的值；

（2）對滿足的一切的值，都有，求實數的取值范圍；

（3）當時，函數的圖象與直線只有一個公共點，

求實數的取值范圍。

Answer 1

解：(1) ,

    ,;  …………(2分)

(2) ，令，

對滿足的一切的值，都有,即 對于 都有;

上述條件等價于在上;  ………(4分)

 明顯的,當時,不滿足條件;

 當時, 在上上單調遞增,

   則,解得:,

   所以 ;

 當時, 在上上單調遞減,

   則,解得: ,

   所以不存在；

 綜上所得，實數的取值范圍是;    ……(8分)

（3）,   ,,

令,解得:,

     令,解得: ;

   在上單調增,在上單調減, ……(10分)

要使得函數的圖象與直線只有一個公共點,

只要滿足：，即……(13分)

     ……(14分)