Question

已知函數，其中是自然對數的底數，．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求的單調區間；

（3）若，函數的圖象與函數的圖象有3個不同的交點，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）的單調遞減區間為，；   單調遞增區間為.

（3）

【解析】

試題分析：解：（1）因為，

所以，       1分

所以曲線在點處的切線斜率為.    

又因為，

所以所求切線方程為，即．   2分

（2），

①若，當或時，；

當時，.

所以的單調遞減區間為，；

單調遞增區間為.                           4分

②若，，所以的單調遞減區間為.

③若，當或時，；

當時，.

所以的單調遞減區間為，；

單調遞增區間為.                         7分

（3）由（2）知，在上單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極小值，在處取得極大值.

由，得.

當或時，；當時，.  10分

所以在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增.

故在處取得極大值，在處取得極小值.

因為函數與函數的圖象有3個不同的交點，

所以，即. 所以. 12分

考點：導數的運用

點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于中檔題。