Question

已知函數，其中是自然對數的底數，．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求的單調區間；

（3）若，函數的圖象與函數的圖象有3個不同的交點，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；當時，的單調遞減區間為；當時，的單調遞減區間為，，單調遞增區間為；（3）.

【解析】

試題分析：(1) 利用導數的幾何意義求切線的斜率，再求切點坐標，最后根據點斜式直線方程求切線方程；(2)利用導數的正負分析原函數的單調性，注意在解不等式時需要對參數的范圍進行討論；(3)根據單調性求函數的極值，根據其圖像交點的個數確定兩個函數極值的大小關系，然后解對應的不等式.

試題解析：（1）因為，

所以，

所以曲線在點處的切線斜率為.

又因為，

所以所求切線方程為，即．          2分

（2），

①若，當或時，；當時，.

所以的單調遞減區間為，；

單調遞增區間為.                    4分

②若，，

所以的單調遞減區間為.                     5分

③若，當或時，；當時，.

所以的單調遞減區間為，；

單調遞增區間為.                  7分

（3）由（2）知函數在上單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減，

所以在處取得極小值，在處取得極大值.  8分

由，得.

當或時，；當時，.

所以在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增.

故在處取得極大值，在處取得極小值. 10分

因為函數與函數的圖象有3個不同的交點，

所以，即.  所以.         12分

考點：1.導數的幾何意義；2.切線方程；3.利用導數分析函數的單調性4.分類討論；5.極值6.零點．