Question

如圖所示，點D是AB的中點，點M是△ABC三條中線的交點，O是空間任意一點．求證：
（1）

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）；
（2）

OM

=

1

3

（

OA

+

OB

+

OC

）．

Answer 1

考點：空間向量的加減法

專題：空間向量及應用

分析：（1）點D是AB的中點，利用平行四邊形法則可得

OA

+

OB

=2

OD

，即可證明；
（2）由于點M是△ABC三條中線的交點，可得

CM

=

2

3

CD

，

CD

=

1

2

(

CB

+

CA

)=

1

2

(

OB

-

OC

+

OA

-

OC

)，
因此

OM

=

OC

+

CM

=

OC

+

1

3

(

OA

+

OB

-2

OC

)即可得出．

解答： 證明：（1）∵點D是AB的中點，∴

OA

+

OB

=2

OD

，∴

OD

=

1

2

（

OA

+

OB

）；
（2）∵點M是△ABC三條中線的交點，∴

CM

=

2

3

CD

，

CD

=

1

2

(

CB

+

CA

)=

1

2

(

OB

-

OC

+

OA

-

OC

)=

1

2

(

OB

+

OA

-2

OC

)，
∴

CM

=

1

3

(

OA

+

OB

-2

OC

)．
∴

OM

=

OC

+

CM

=

OC

+

1

3

(

OA

+

OB

-2

OC

)=

1

3

(

OA

+

OB

+

OC

)．

點評：本題考查了向量的平行四邊形法則與三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．