Question

設f（x）=

4x

4x+a

，且f（x）的圖象過點(0，

1

2

 )，
（1）求f（x）表達式；
（2）計算f（x）+f（-x）；
（3）試求f（-2014）+f（-2013）+f（-2012）+…+f（2013）+f（2014）的值．

Answer 1

考點：歸納推理,函數的值

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，f（0）=

1

1+a

=

1

2

，從而解出a=1，可得f（x）表達式；
（2）f（-x）+f(x)=

4x

4x+1

+

4-x

4-x+1

=

4x

4x+1

+

1

4x+1

=1；
（3）由f（x）+f（-x）=1可知，f（-2014）+f（-2013）+f（-2012）+…+f（2013）+f（2014）=（f（-2014）+f（2014））+（f（-2013）+f（2013））+…+f（0），從而求得．

解答： 解：（1）由題意，f（0）=

1

1+a

=

1

2

，
解得，a=1，
故f(x)=

4x

4x+1

；
（2）f（-x）+f(x)=

4x

4x+1

+

4-x

4-x+1

=

4x

4x+1

+

1

4x+1

=1；
（3）f（-2014）+f（-2013）+f（-2012）+…+f（2013）+f（2014）
=（f（-2014）+f（2014））+（f（-2013）+f（2013））+…+f（0）
=1+1+1+…+1+

1

2

=2014+

1

2

=2014.5．

點評：本題考查了函數的性質的應用與判斷，屬于中檔題．