Question

已知曲線的直角坐標方程為. 以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. P是曲線上一點，，，將點P繞點O逆時針旋轉角后得到點Q，，點M的軌跡是曲線.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）[2，4].

【解析】

試題分析：本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化、三角函數最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用直角坐標方程和極坐標方程的轉化公式“，”轉化得到曲線的極坐標方程，設出M，P點的極坐標，利用已知條件得P點坐標代入到中即可；第二問，由曲線的極坐標方程得的表達式，利用三角函數的有界性求的最值.

（1）曲線C1的極坐標方程為，即．

在極坐標系中，設M(ρ，θ)，P(ρ1，α)，則

題設可知，． ①

因為點P在曲線C1上，所以． ②

由①②得曲線C2的極坐標方程為． 6分

（2）由（1）得

．

因為的取值范圍是，所以|OM|的取值范圍是[2，4]． 10分

考點：直角坐標方程與極坐標方程的互化、三角函數最值.