Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、二面角的余弦等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，利用面面垂直的性質得BC⊥平面A1ACC1，則利用線面垂直的性質得A1A⊥BC，由A1B⊥C1C，利用平行線A1A∥C1C，則A1A⊥A1B，利用線面垂直的判定得A1A⊥平面A1BC，則利用線面垂直的性質得A1A⊥A1C；第二問，建立空間直角坐標系，得到面上的點的坐標，計算出向量坐標，求出平面和平面的法向量，利用夾角公式計算出二面角的余弦值.

（1）因為平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A1ACC1，

所以A1A⊥BC．

因為A1B⊥C1C，A1A∥C1C，所以A1A⊥A1B，

所以A1A⊥平面A1BC，所以A1A⊥A1C． 5分

（2）建立如圖所示的坐標系C-xyz．

設AC＝BC＝2，因為A1A＝A1C，

則A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(1，0，1)，C(0，0，0)．

＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝(－2，2，0)．

設n1＝(a，b，c)為面BA1C的一個法向量，則n1·＝n1·＝0，

則，取n1＝(1，0，－1)．

同理，面A1CB1的一個法向量為n2＝(1，1，－1)． 9分

所以cos?n1，n2?＝＝，

故二面角B-A1C-B1的余弦值為． 12分

考點：線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、二面角的余弦.