Question

已知函數.

（1）當a=l時，求的單調區間；

（2）若函數在上是減函數，求實數a的取值范圍；

（3）令，是否存在實數a，當(e是自然對數的底數)時，函數g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）；（3）存在實數.

【解析】

試題分析：（1）把代入函數解析式得，且定義域為，利用導數法可求出函數的單調區間，由，分別解不等式，，注意函數定義域，從而可求出函數的單調區間；（2）此問題利用導數法來解決，若函數在上是減函數，則其導函數在上恒成立，又因為，所以函數，必有，從而解得實數的取值范圍；（3）利用導數求極值的方法來解決此問題，由題意得，則，令，解得，通過對是否在區間上進行分類討論，可求得當時，有，滿足條件，從而可求出實數的值.

（1）當時，. 2分

因為函數的定義域為，

所以當時，，當時，.

所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為. 4分

（2）在上恒成立.

令，有， 6分

得，. 8分

（3）假設存在實數，使有最小值3，

. 9分

當時，在上單調遞減，

，（舍去）； 10分

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

，解得，滿足條件； 12分

③當時，在上單調遞減，

，（舍去）. 13分

綜上，存在實數，使得當時，有最小值3. 14分

考點：1.導數性質；2.不等式求解；3.分類討論.