Question

已知函數g（x）=log_a（x+1）（a＞0，且a≠1），函數g（x）的圖象與函數h（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）試寫出函數h（x）的解析式；
（2）設f（x）=g（x）-h（x），判斷函數f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）求f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的對稱性求其解析式；（2）利用函數奇偶性的定義判斷；（3）對底數進行討論．

解答： 解：（1）h（x）=g（-x）=log_a（1-x）…（3分）
（2）f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），函數f（x）的定義域為（-1，1），…（5分）
∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1-x）-log_a（1+x）]=-f（x）
故函數f（x）為奇函數；     …（7分）
（3）當0＜a＜1，所以

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，解得，-1＜x＜0…（9分）
當a＞1，所以

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，解得，0＜x＜1…（11分）
綜上可知，當a＞1時，0＜x＜1，當0＜a＜1，時-1＜x＜0…（12分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性、對稱性、單調性，屬于中檔題．