Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當

a

∥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）設函數f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，已知在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，求f（x）+4cos（2A+

π

6

） （x∈[0，

π

2

]）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量共線（平行）的坐標表示,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）由

a

∥

b

求出tanx的值，把cos²x-sin2x化為關于tanx的表達式，從而求出值來；
（2）利用數量積求出f（x）的表達式，△ABC中由正弦定理求出A的大小，由此求出f（x）+4cos（2A+

π

6

）的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1），且

a

∥

b

；
∴

3

4

cosx+sinx=0，
∴tanx=-

3

4

；
∴cos²x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=

1-2×(- 3 4 )

1+(- 3 4 )2

=

8

5

； …（6分）
（2）∵f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinx+cosx）•cosx+2×（

3

4

-1）×（-1）
=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+1+

1

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

；
在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

3 × 6 3

2

=

2

2

，
∴A=

π

4

，或A=

3π

4

；
又∵b＞a，∴A=

π

4

，
∴f（x）+4cos（2A+

π

6

）=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

+4cos（2×

π

4

+

π

6

）
=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

-4sin

π

6

=

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]；
∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-

3

2

≤

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

≤

2

-

1

2

；
即f（x）+4cos（2A+

π

6

）的取值范圍是[-

3

2

，

2

-

1

2

]．…（12分）

點評：本題考查了平面向量的數量積以及正弦定理的應用和三角函數的恒等變換問題，是綜合性題目，屬于中檔題．