Question

已知球O的半徑為，點A為球面上的點，過A作球O的截面圓O₁，設圓O₁的周長為x，球心O到截面圓O₁的距離為y，當xy的值最大時，圓O₁的面積是________．

Answer 1

6π
分析：在小圓O₁中，設過A的直徑為AB，連接OA、OO₁，設圓O₁的半徑為r，根據圓周長公式和球的截面圓性質建立關于x、y、r的方程組，消去r得+y²=12，再結合基本不等式可得當y=時，xy有最大值12π，由此算出r=，即得圓O₁的面積．
解答：在小圓O₁中，設過A的直徑為AB，連接OA、OO₁，
設圓O₁的半徑為r，得：，
消去r，得+y²=12
∵+y²≥2••y=
∴≤12，得xy≤12π．當且僅當=y²，即y=時，xy有最大值12π
此時圓O₁的半徑r==，得圓O₁的面積是=6π
故答案為：6π
點評：本題給出球的半徑R，求經過某點滿足特殊條件的球小圓的面積，著重考查了球的截面圓性質和基本不等式等知識，屬于基礎題．