Question

已知數(shù)列{a_n}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}滿足等式a_n=（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，分別表示出a₂a₆=55，a₂+a₇=16聯(lián)立方程求得d和a₁進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得a_n．
（2）令c_n=，則有a_n=c₁+c₂+…+c_n，a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1兩式相減得c_n+1等于常數(shù)2，進(jìn)而可得b_n，進(jìn)而根據(jù)b₁=2a₁求得b₁則數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而根據(jù)從第二項(xiàng)開(kāi)始按等比數(shù)列求和公式求和再加上b₁．
解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則依題意可知d＞0由a₂+a₇=16，
得2a₁+7d=16①
由a₃a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①②聯(lián)立方程求得
得d=2，a₁=1或d=-2，a₁=（排除）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令c_n=，則有a_n=c₁+c₂+…+c_n
a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1
兩式相減得
a_n+1-a_n=c_n+1，由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，即c_n=2（n≥2），
即當(dāng)n≥2時(shí)，
b_n=2ⁿ⁺¹，又當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2a₁=2
∴b_n=
于是S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2³+2⁴+…2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-6，n≥2，
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了對(duì)數(shù)列問(wèn)題的綜合把握．