Question

（2013•樂山一模）已知數列{a_n}是等差數列，a₅=5，若（6-a₁）

OB

=a₂

OA

+a₃

OC

，且A、B、C三點共線（O為該直線外一點）；點列（n，b_n）在函數f(x)=log

1

2

x的反函數的圖象上．
（1）求a_n和b_n；
（2）記數列C_n=a_nb_n+b_n（n∈N^*），若{C_n}的前n項和為T_n，求使不等式

3-Tn

n+3

＜

1

64

成立的最小自然數n的值．

Answer 1

分析：（1）利用三點共線的結論，可得6-a₁=a₂+a₃，結合a₅=5，求出首項與公差，可求a_n；利用點列（n，b_n）在函數f(x)=log

1

2

x的反函數的圖象上，可求b_n；
（2）確定數列的通項，利用錯位相減法求和，即可求得結論．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，則
∵（6-a₁）

OB

=a₂

OA

+a₃

OC

，且A、B、C三點共線，
∴由三點共線的條件，可得6-a₁=a₂+a₃，∴a₁+d=2，
∵a₅=5，∴a₁+4d=5，
∴d=1，a₁=1，
∴a_n=n；
∵點列（n，b_n）在函數f(x)=log

1

2

x的反函數的圖象上
∴bn=(

1

2

)n；
（2）C_n=a_nb_n+b_n=(n+1)•(

1

2

)n，
∴T_n=2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+(n+1)•(

1

2

)n，
∴

1

2

T_n=2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+(n+1)•(

1

2

)n+1
兩式相減，可得

1

2

T_n=2•

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1=

3

2

-(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1
∴T_n=3-(

1

2

)n-1-(n+1)•(

1

2

)n
∴3-T_n=(

1

2

)n-1+(n+1)•(

1

2

)n
∴

3-Tn

n+3

＜

1

64

等價于(

1

2

)n＜(

1

2

)6
∴n＞6
∴使不等式

3-Tn

n+3

＜

1

64

成立的最小自然數n的值為7．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查數列與不等式的聯系，確定數列的通項，正確求和是關鍵．