Question

18．已知首項為正的數列{a_n}中，相鄰兩項不為相反數，且前n項和${S_n}=\frac{1}{4}（{a_n}-5）（{a_n}+7）$
（1）求證：數列{a_n}為等差數列；
（2）設數列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為T_n，對一切正整數n都有T_n≥M成立，求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用數列的遞推關系式，結合a_n+1=S_n+1-S_n，推出數列是等差數列．
（2）求出數列的通項公式，化簡數列的通項公式，求出數列的和，利用數列的單調性求解即可．

解答 （本小題12分）解：（1）證明：∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n-5）（a_n+7），
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=$\frac{1}{4}$（a_n+1-5）（a_n+1+7）-$\frac{1}{4}$（a_n-5）（a_n+7），
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1+a_n）=0，
∴a_n+1-a_n=2或a_n+1+a_n=0．
又相鄰兩項不為相反數，
∴a_n+1-a_n=2，
∴數列{a_n}為公差為2的等差數列．
（2）由S₁=$\frac{1}{4}$（a₁-5）（a₁+7）⇒a₁=7或a₁=-5，
∵數列{a_n}的首項為正，∴a₁=7，
由（1）得a_n=2n+5，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$
∴${T_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）+…+（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）]=\frac{1}{2}（\frac{1}{7}-\frac{1}{2n+7}）$
∴數列{T_n}（n∈N^*）在[1，+∞）上是遞增數列．
又當n=1時，${T_1}=\frac{1}{63}$
∴要使得對于一切正整數n都有T_n≥M成立，
只要M≤$\frac{1}{63}$，所以M的最大值為$\frac{1}{63}$．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，等差數列的判斷，以及數列求和，數列的函數特征的應用，考查轉化思想以及計算能力．