Question

由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割）,并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與,且滿足,,中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項(xiàng)中,不可能成立的是（ ）

A．沒有最大元素,有一個(gè)最小元素

B．沒有最大元素,也沒有最小元素

C．有一個(gè)最大元素,有一個(gè)最小元素

D．有一個(gè)最大元素,沒有最小元素

Answer 1

C

【解析】

試題分析：A正確，例如M是所有的有理數(shù),N是所有的有理數(shù)。B正確，如M是所有負(fù)的有理數(shù)，零和平方小于2的正有理數(shù)，N是所有平方大于2的正有理數(shù)。顯然M和N的并集是所有的有理數(shù)，因?yàn)槠椒降扔?的數(shù)不是有理數(shù)。D正確，如例如M是所有的有理數(shù)，N是所有的有理數(shù)。C錯(cuò)；M有最大元素a，且N有最小元素b是不可能的，因?yàn)檫@樣就有一個(gè)有理數(shù)不存在于M和N兩個(gè)集合中，與M和N的并集是所有的有理數(shù)矛盾

考點(diǎn)：集合新定義問題