Question

（本題滿分14分）已知兩點、,動點與、兩點連線的斜率、滿足.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）是曲線與軸正半軸的交點,曲線上是否存在兩點、,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在,請說明有幾個；若不存在,請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（）；（Ⅱ）3個

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求動點的軌跡方程的一般步驟：1．建系——建立適當的坐標系．2．設點——設軌跡上的任一點P（x，y）．3．列式——列出動點P所滿足的關系式．4．代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡．5．證明——證明所求方程即為符合條件的動點的軌跡方程．

（Ⅱ）由題意可知設所在直線的方程為，則所在直線的方程為分別聯立橢圓方程求得弦長，,再由得解方程即可

試題解析：（Ⅰ）設點的坐標為（）,則,, 2分

依題意,所以,化簡得, 4分

所以動點的軌跡的方程為（）. 5分

注:如果未說明（或注）,扣1分.

（Ⅱ）設能構成等腰直角,其中為,

由題意可知,直角邊,不可能垂直或平行于軸,故可設所在直線的方程為,

（不妨設）,則所在直線的方程為 7分

聯立方程,消去整理得,解得,

將代入可得,故點的坐標為.

所以, 9分

同理可得,由,得,

所以,整理得,解得或 11分

當斜率時,斜率；當斜率時,斜率；

當斜率時,斜率,

綜上所述,符合條件的三角形有個. 14分

考點：圓錐曲線的綜合應用