Question

在△ABC中，記∠BAC=x（角的單位是弧度制），△ABC的面積為S，且

AB

•

AC

=8，4≤S≤4

3

．
（1）求x的取值范圍；
（2）就（1）中x的取值范圍，求函數f(x)=2

3

sin2(x+

π

4

)+2cos2x-

3

的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形面積公式，退席已知中

AB

•

AC

=8，4≤S≤4

3

，我們易確定tanx的范圍，結合x為三角形的內角，我們易求出x的取值范圍；
（2）結合（1）的結論，利用降冪公式和輔助角公式，我們易將函數的解析式化為正弦型函數的形式，進而根據正弦型函數的性質即可得到答案．

解答：解：（1）∵∠BAC=x，

AC

•

AB

=8，4≤S≤4

3

，
又S=

1

2

bcsinx，
∴bccosx=8，S=4tanx，即1≤tanx≤

3

．（4分）
∴所求的x的取值范圍是

π

4

≤x≤

π

3

．（7分）
（2）∵

π

4

≤x≤

π

3

，f(x)=2

3

sin2(x+

π

4

)+2cos2x-

3

= 3 sin2x+cos2x+1 =2sin(2x+ π 6 )+1，

（9分）
∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

．（11分）
∴f(x)min=f(

π

3

)=2，f(x)max=f(

π

4

)=

3

+1．（14分）

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，平面向量數量積的含義與物理意義，其中根據平面向量數理積的含義及三角形面積結合正切函數的性質，求出X的取值范圍是解答本題的關鍵．