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在△ABC中，記BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，求
cotCcotA+cotB
的值．
分析：可將9a2+9b2-19c2=0，轉(zhuǎn)化為9（a2+b2-c2）=10c2，逆用余弦定理得到18abcosC=10c2，再利用正弦定理轉(zhuǎn)化為9sinAsinBcosC=5sin2C，再將
cotC
cotA+cotB
中的切化弦，逆用兩角和的正弦公式，最后代入即可．
解答：解：∵9（a2+b2-c2）=10c2，由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC得：
18abcosC=10c2，又
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R，
∴9sinAsinBcosC=5sin2C，
∴
cotC
cotA+cotB
=
cosC
sinC
cosA
sinA
+
cosB
sinB

=
sinAsinBcosC
sinC(cosAsinB+sinAcosB)

=
sinAsinBcosC
sinCsin(A+B)

=
sinAsinBcosC
sin2C
=
5
9
．
點(diǎn)評：本題考查余弦定理與正弦定理，著重考查整體代入與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC 中，記 BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，則
cotC
cotA+cotB
=
5
9
5
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖北）如圖，某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．過AB，AC的中點(diǎn)M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個(gè)中截面，其面積記為S中．
（Ⅰ）證明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S．在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量（即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V）時(shí)，可用近似公式V估=S中-h來估算．已知V=
13
（d1+d2+d3）S，試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，記BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，則＝__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007-2008學(xué)年北京四中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，記BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，求的值．

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