Question

在△ABC 中，記 BC=a，CA=b，AB=c，若9a²+9b²-19c²=0，則

cotC

cotA+cotB

=

5

9

．

Answer 1

分析：將所求式子分子分母分別利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，分母通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，最后利用正弦、余弦定理化簡(jiǎn)后，把已知的等式變形后代入即可求出值．

解答：解：∵9a²+9b²-19c²=0，
∴9a²+9b²=19c²，
又

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴

cotC

cotA+cotB

=

cosC sinC

cosA sinA + cosB sinB

=

cosC sinC

sinBcosC+cosBsinC sinAsinB

=

sinAsinB

sin2C

•cosC
=

ab

c2

•

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-c2

2c2

=

9a2+9b2-9c2

2×9c2

=

19c2-9c2

18c2

=

5

9

．
故答案為：

5

9

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．