Question

在△ABC中，記∠BAC=x（角的單位是弧度制），△ABC的面積為S，且

AB

•

AC

=8，4≤S≤4

3

．
（1）求x的取值范圍；
（2）就（1）中x的取值范圍，求函數f(x)=

3

sin2x+cos2x的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）由條件可得bccosx=8，S=4tanx，即1≤tanx≤

3

，從而求得x的取值范圍．
（2）化簡函數的解析式為 2sin(2x+

π

6

)，由

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，可得

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，從而求得函數
的最大值及最小值．

解答：解：（1）∵∠BAC=x，

AC

•

AB

=8，4≤S≤4

3

，又S=

1

2

bcsinx，
∴bccosx=8，S=4tanx，即1≤tanx≤

3

．∴所求的x的取值范圍是

π

4

≤x≤

π

3

．
（2）∵

π

4

≤x≤

π

3

，f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

．∴f(x)min=f(

π

3

)=1，f(x)max=f(

π

4

)=

3

．

點評：本題考查兩角和正弦公式，同角三角函數的基本關系，正弦函數的定義域，值域，根據三角函數的值求角，化簡函數的
解析式為 2sin(2x+

π

6

)，是解題的關鍵．