Question

9．四棱錐P-ABCD的四條側棱長相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點，求證：
（Ⅰ）PD∥平面ACM；
（Ⅱ）PO⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若PA=AB，求異面直線PD與CM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證PD∥面ACM，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PD與面ACM內一直線平行即可，連接OM，而OB=OD，則PD∥OM，OM?面ACM，PD不在面ACM內，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證PO⊥面ABCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證PO與面ABCD內兩相交直線垂直，而PA=PC，OA=OC，則PO⊥AC，同理PO⊥BD，AC∩BD=O，滿足定理所需條件；
（Ⅲ）以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{CM}$＞=$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{CM}|}$可得：異面直線PB與AD所成角．

解答 證明：（Ⅰ）連接OM，正方形ABCD中，OB=OD，
M為PB的中點，
∴PD∥OM，
∵OM?面ACM，PD不在面ACM內，
∴PD∥面ACM；
（Ⅱ）∵PA=PC，OA=OC，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，
AC∩BD=O，
∴PO⊥面ABCD．
（Ⅲ）以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵四棱錐P-ABCD的四條側棱長相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點，PA=AB，設AB=1，
可得：D（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），M（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），
可得：$\overrightarrow{PD}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），
∴cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{CM}$＞=$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{CM}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設異面直線PD與CM所成角為α，
∴sinα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于中檔題．