Question

設關于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集為M，不等式x²-2x-3≤0的解集為N．
（Ⅰ）當a=1時，求集合M；
（Ⅱ）若M⊆N，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=1時，由已知得x（x-2）＜0．
解得0＜x＜2．
所以M={x|0＜x＜2}．…（3分）
（Ⅱ） 由已知得N={x|-1≤x≤3}．…（5分）
①當a＜-1時，因為a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}．
因為M⊆N，所以-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1；…（8分）
②若a=-1時，M=∅，顯然有M⊆N，所以a=-1成立；…（10分）
③若a＞-1時，因為a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}．
又N={x|-1≤x≤3}，因為M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2．…（12分）
綜上所述，a的取值范圍是[-2，2]．…（13分）
分析：（Ⅰ）當a=1時，由已知得一元二次不等式x（x-2）＜0，解之即可得集合M；
（Ⅱ）由已知得N={x|-1≤x≤3}．下面對字母a進行分類討論：①當a＜-1時，②若a=-1時，③若a＞-1時，分別表示出集合M，又N={x|-1≤x≤3}，利用M⊆N，即可求得a的取值范圍．
點評：本小題主要考查一元二次不等式的解法、集合之間的包含關系、集合關系中的參數取值問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想．屬于基礎題．