Question

若a＞0，使關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，設a的取值集合是A；若不等式|x|＞bx（b∈R）的解集為（0，+∞），設實數b的取值集合是B，試求當x∈A∪B時，f（x）=2^|x+1|-|x-1|的值域．

Answer 1

分析：利用不等式的性質對|x-3|+|x-4|進行放縮和分類討論，求出|x-3|-|x-4|的最小值，即可求a的取值集合，根據不等式|x|＞bx，分兩種情況進行討論，根據其解集為（0，+∞），求出b的范圍，根據交集運算法則，求出A∪B，去掉絕對值求出f（x）的值域；

解答：解：|x-3|+|x-4|的幾何意義是數軸上的點x 到3和4的距離之和，
當x在3、4之間時，這個距離和最小為是1，其它情況都大于1
所以|x-3|+|x-4|≥1
如果使關于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a在R上的解集不是空集，所以 a＞1，
∴A={a|a＞1}；
不等式|x|＞bx（b∈R）的解集為（0，+∞），
當x＞0時，x-bx＞0，即x（1-b）＞0，∴1-b＞0，∴b＜1；
當x＜0時，-x-bx＞0，即x（1+b）＜0，∴1+b＞0，∴b＞-1，
∵不等式|x|＞bx（b∈R）的解集為（0，+∞），說明x＜0時x無解，得b≤-1，
綜上：b＜-1；B={b|b≤-1}
∴A∪B={a|a＞1}∪{b|b≤-1}；
∵f（x）=2^|x+1|-|x-1|，
當x＞1時，f（x）=2^x+1-x+1，f（x）為單調增函數，f（x）＞f（1）=4；
當x≤-1時，f（x）=2^-x-1+x-1，f′（x）=-

ln2

2x+1

+1＜0，f（x）為減函數，f（x）≥f（-1）=-1；
∴綜上：當x＞1時，f（x）＞4；當x＜-1時，f（x）≥-1；

點評：此題考查絕對值不等式的求解問題及函數的恒成立問題，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，考查分段函數的性質，此題考查的知識點比較多，是一道難題；