Question

設函數．
（1）對于任意實數，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍．

Answer 1

（1）的最大值為；（2）實數的取值范圍為.

解析試題分析：（1）先將函數的導數求出來，并將不等式在上恒成立轉化為二次函數在恒成立，利用列相應的不等式，求出實數的取值范圍，進而確定的最大值；（2）先利用導數求出函數的極大值與極小值，由于方程有且只有一個實數根，利用或求出實數的取值范圍.
試題解析：（1）,
因為,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值為
（2）因為 當時, ;當時, ;當時, ;
所以 當時,取極大值 ;
當時,取極小值 ;
故當 或時, 方程僅有一個實根. 解得 或.
考點：1.二次不等式恒成立；2.函數的極值；3.函數的零點個數