Question

某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）．

（1）分別寫出兩種產品的收益與投資的函數關系；
（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比，結合函數圖象，我們可以利用待定系數法來求兩種產品的收益與投資的函數關系；
（2）由（1）的結論，我們設設投資債券類產品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．這時可以構造出一個關于收益y的函數，然后利用求函數最大值的方法進行求解．
解答：解：（1）f（x）=k₁x，，
，，（x≥0），
（x≥0）
（2）設：投資債券類產品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．
（0≤x≤20）
令，則==
所以當t=2，即x=16萬元時，收益最大，y_max=3萬元．
點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．