Question

某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知給兩類產品各投資1萬元，它們的收益分別為0.4萬元和0.8萬元．
（1）分別寫出兩種產品的收益與投資額的函數關系式；
（2）該家庭現有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）設投資債券收益f（x）與投資額x的函數關系式為y=f（x）=kx，投資股票收益g（x）與投資額x的函數關系式y=g（x）=m

x

．由題意可得k×1=0.4，m

1

=0.8，解得k與m即可．
（2）假設20萬元中x萬元用于投資股票，（20-x）用于投資債券．則獲得利潤h（x）=f（20-x）+g（x）=0.4（20-x）+0.8

x

=0.8

x

-0.4x+8=-0.4(

x

-1)2+8.4．再利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）設投資債券收益f（x）與投資額x的函數關系式為y=f（x）=kx，投資股票收益g（x）與投資額x的函數關系式y=g（x）=m

x

．
由題意可得k×1=0.4，m

1

=0.8，解得k=0.4；m=0.8．
∴f（x）=0.4x，g（x）=0.8

x

．
（2）假設20萬元中x萬元用于投資股票，（20-x）用于投資債券．
則獲得利潤h（x）=f（20-x）+g（x）=0.4（20-x）+0.8

x

=0.8

x

-0.4x+8．
∴h(x)=-0.4(

x

-1)2+8.4，
當

x

=1，即x=1時，h（x）取得最大值8.4．
即20萬元中1萬元用于投資股票，19萬元用于投資債券可獲得最大收益．

點評：本題考查了正比例函數、二次函數的單調性、待定系數法等基礎知識與基本方法，收益中檔題．