Question

某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）．

（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系；
（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）由投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比，結合函數(shù)圖象，我們可以利用待定系數(shù)法來求兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關系；
（2）由（1）的結論，我們設設投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．這時可以構造出一個關于收益y的函數(shù)，然后利用求函數(shù)最大值的方法進行求解．

解答：解：（1）f（x）=k₁x，g(x)=k2

x

，
f(1)=

1

8

=k1，g(1)=k2=

1

2

，f(x)=

1

8

x（x≥0），
g(x)=

1

2

x

（x≥0）
（2）設：投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元．
y=f(x)+g(20-x)=

x

8

+

1

2

20-x

（0≤x≤20）
令t=

20-x

，則y=

20-t2

8

+

1

2

t=-

1

8

(t2-4t-20)=-

1

8

(t-2)2+3
所以當t=2，即x=16萬元時，收益最大，y_max=3萬元．

點評：函數(shù)的實際應用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．