Question

如圖1-4-13,△PQR∽△P′Q′R′且均為等邊三角形,它們的重疊部分是一個六邊形.設這個六邊形的邊長為AB=a₁, BC=b₁,CD=a₂,DE=b₂,EF=a₃,FA=b₃.

圖1-4-13

求證: a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃².

Answer 1

證明:易證△APB∽△CQ′B∽△CQD∽△ER′D∽△ERF∽△AP′F，它們的面積比為對應邊的平方比,設比例系數為k,則

S_△APB=AB²·k=a₁²·k,

S_△CQ′B=CB²·k=b₁²·k,

S_△CQD=CD²·k=a₂²·k,

S_△ER′D=ED²·k=b₂²·k,

S_△ERF=EF²·k=a₃²·k,

S_△AP′F=FA²·k=b₃²·k.

由于兩個正三角形未重疊部分應有相等面積,

∴(a₁²+a₂²+a₃²)k=(b₁²+b₂²+b₃²)k.

∴a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃².