Question

已知橢圓的離心率為，其左右焦點分別為、，，設點，是橢圓上不同兩點，且這兩點與坐標原點的連線的斜率之積．（1）求橢圓的方程；（2）求證：為定值，并求該定值．

Answer 1

（1）；（2）為一定值

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標準方程的基本方法是待定系數法，具體解法是先確定焦點的位置，然后再根據條件建立關于a，b的方程組．（2）圓錐曲線中的定值與定點問題是高考的常考題型，運算量較大，解題思維性較強．解決這類問題一般有兩種方法：一是根據題意求出相關的表達式，再根據已知條件列出方程組（或不等式），消去參數，求出定值或定點坐標；二是先利用特殊情況確定定值或定點坐標，再從一般情況進行驗證．

試題解析：（1）依題意，，而，∴，，

則橢圓的方程為：；（6分 ）

（2）由于，則，（8分 ）

而，，則，，

∴ ，則，（11分 ）

，展開得 為一定值（14分 ）

考點：橢圓及橢圓定點、定值問題