Question

已知圓經過，兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和為2.
（1）求圓的方程；
（2）若為圓內一點，求經過點被圓截得的弦長最短時的直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）設所求圓的一般方程為，再令、，分別求出圓在軸、軸上的截距之和，再有已知圓兩坐標軸上的四個截距之和為2.得出的關系式，由于，兩點在圓上，聯立方程組，解方程組求出系數，從而求得圓的方程；（2）考查圓的最短弦，實際上當直線過定點且與過此點的圓的半徑垂直時，被圓截得的弦長最短，求出直線的斜率，再由直線方程的點斜式求出方程.
試題解析：（1）設圓的方程為，
令，得，則圓在軸上的截距之和為；
令，得，則圓在軸上的截距之和為；
由題意有，即，又，兩點在圓上，
，解得，故所求圓的方程為.
（2）由（1）知，圓的方程為，圓心為，
當直線過定點且與過此點的圓的半徑垂直時，被圓截得的弦長最短，
此時，，
于是直線的方程為，即.