Question

已知函數f（x）=a（x²+3）+bx+c，且關于x的不等式f（x）＜2x+3a的解集為（-1，2）．
（1）若關于x的方程f（x）=0有實數根，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）不存在正實數零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,一元二次不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：由關于x的不等式f（x）＜2x+3a的解集為（-1，2）．可得-1，2是關于x的方程f（x）=2x+3a，即ax²+（b-2）x+c=0的兩根，結合韋達定理可得b=2-a，c=-2a，
（1）若關于x的方程f（x）=0有實數根，則△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4≥0，進而構造關于a的不等式，解得實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）不存在正實數零點，則函數無零點，或只有非正零點，即△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4＜0，或

△=b2-4a(c+3a)≥0 x1+x2=- b a ≤0 x1•x2=- c+3a a ≥0

，求實數a的取值范圍．

解答： 解：∵關于x的不等式f（x）＜2x+3a的解集為（-1，2）．
∴-1，2是關于x的方程f（x）=2x+3a，即ax²+（b-2）x+c=0的兩根，
∴-1+2=1=-

b-2

a

，-1×2=-2=

c

a

，（a≠0）
∴b=2-a，c=-2a，
（1）若關于x的方程f（x）=0有實數根，
則△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4≥0，
即3a²+4a-4≤0，
解得：a∈[-2，

2

3

]，
∴a∈[-2，0）∪（0，

2

3

]，
即實數a的取值范圍為[-2，0）∪（0，

2

3

]，
（2）若函數f（x）不存在正實數零點，
則△=b²-4a（c+3a）=-3a²-4a+4＜0，此時a∈（-∞，-2）∪（

2

3

，+∞），
或

△=b2-4a(c+3a)≥0 x1+x2=- b a ≤0 x1•x2=- c+3a a ≥0

，即

-2≤a≤ 2 3 ，且a≠0 a-2 a ≤0 3a-2a a =1≥0

解得：a∈（0，

2

3

]
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，-2）∪（0，+∞），

點評：本題考查的知識點是函數零點的判定定理，一元二次不等式的解法，是方程，函數不等式的綜合應用，難度中檔．