Question

已知函數f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）當a＜0時，求函數f（x）在區間[

1

2

，1]上最小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（1）令f′（x）≥0，討論當a≥0，當a=-時，當-時，當a＜-

1

2

，解二次不等式，注意定義域，即可得到函數f（x）的單調增區間；
（2）由（1）可得f′（x）．由于a＜0．對a分類討論：-

1

2

≤a＜0時，a≤-1時，-1＜a＜-時，利用導數分別研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）由函數f（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（a∈R，x＞0），
可得f′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

．
令f′（x）≥0，
當a≥0，x＞0，∴

2ax+1

x

＞0，∴x-1≥0，解得x≥1．
因此函數f（x）的單調增區間是[1，+∞）；
當a＜0時，當a=-

1

2

時，f（x）無增區間；
當-

1

2

＜a＜0時，解得，x＞-

1

2a

或0＜x＜1，則有增區間為（0，1），（-

1

2a

，+∞）；
當a＜-

1

2

，解得，x＞1或0＜x＜-

1

2a

，則有增區間為（0，-

1

2a

）．（1，+∞）．
（2）由（1）可得f′（x）=

2a(x+ 1 2a )(x-1)

x

．
由于a＜0．當

1

-2a

≥1即-

1

2

≤a＜0時，f′（x）≤0，
因此函數f（x）在區間[

1

2

，1]上單調遞減，
∴當x=1時，f（x）取得最小值，f（1）=a+1-2a-0=1-a；
當0＜-

1

2a

≤

1

2

即a≤-1時，f′（x）≥0，因此函數f（x）在區間[

1

2

，1]上單調遞增，
∴當x=

1

2

時，f（x）取得最小值，f（

1

2

）=

1

4

a+

1

2

（1-2a）-ln

1

2

=

1

2

-

3

4

a+ln2；
當

1

2

＜-

1

2a

＜1即-1＜a＜-

1

2

時，令f′（x）=0，解得x=-

1

2a

．
當

1

2

≤x＜-

1

-2a

時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；
當-

1

2a

＜x≤1時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．
因此當x=-

1

2a

時，f（x）取得最小值，f（-

1

2a

）=1-

1

4a

+ln（-2a）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．