Question

已知中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

的橢圓過點（

2

，

2

2

）．
（1）求橢圓方程；
（2）設不過原點O的直線l，與該橢圓交于P，Q兩點，直線OP，PQ，OQ的斜率依次為k₁、k、k₂，滿足k₁、k、k₂依次成等比數列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：等差數列與等比數列,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關于橢圓的三個參數的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．
（2）設出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，消去x得到關于y的二次方程，利用韋達定理得到關于兩個交點的坐標的關系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據已知三個斜率成等比數列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．

解答： 解：（1）由題意設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

c a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得：a²=4，b²=1．
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）由題意設PQ所在直線方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
則△=64k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x1+x2=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²，
即

-8k2m2

x1x2

+m²=0，又m≠0，
∴k²=

1

4

，即k=±

1

2

．
由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得
0＜m²＜2且m²≠1．
設d為點O到直線l的距離，
則S_△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|x₁-x₂||m|=

m2(2-m2)

．
∴S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，考查了等差數列的應用，訓練了數學轉化思想方法，著重考查了設而不求的解題思想方法，是壓軸題．