Question

現代城市大多是棋盤式布局（如北京道路幾乎都是東西和南北走向）．在這樣的城市中，我們說的兩點間的距離往往不是指兩點間的直線距離（位移），而是實際路程（如圖1）．在直角坐標平面內，我們定義A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點間的“直角距離”為：D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐標系中如圖2，寫出所有滿足到原點的“直角距離”為2的“格點”的坐標．（格點指橫、縱坐標均為整數的點）
（2）求到兩定點F₁、F₂的“直角距離”和為定值2a（a＞0）的動點軌跡方程，并在直角坐標系內作出該動點的軌跡
①F₁（-1，0），F₂（1，0），a=2
②F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=2；
③F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=4．
（3）寫出同時滿足以下兩個條件的“格點”的坐標，并說明理由（格點指橫、縱坐標均為整數的點）．
①到A（-1，-1），B（1，1）兩點“直角距離”相等；
②到C（-2，-2），D（2，2）兩點“直角距離”和最小．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）由已知條件結合圖象能求出所有滿足到原點的“直角距離”為2的“格點”的坐標．
（2）條件①軌跡方程為|x+1|+|x-1|+2|y|=4，條件②軌跡方程為：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=4，條件③：軌跡方程為：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=8，由此能求出結果．
（3）滿足條件的格點有（-2，2），（-1，2），（-2，1），（-1，1），（0，0），（1，-1），（2，-1），（1，-2），（2，-2），對于①，滿足|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，從而p∈{（x，y）|x+y=0，-1≤x≤1或x≤-1，y≥1或x≥1，y≤-1}，對于②，D_（PA）+D_（PB）=|x+2|+|y+2|+|x-2|+|y-2|≥|x+2+2-x|+|y+2+2-y|=8，從而點P∈{（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2}．由此能求出格點的坐標．

解答： 解：（1）在平面直角坐標系中如圖2，
所有滿足到原點的“直角距離”為2的“格點”的坐標有：
（0，2，），（1，1），（2，0），（1，-1），
（0，-2），（-1，-1），（-2，0），（-1，1）．
（2）條件①軌跡方程為|x+1|+|x-1|+2|y|=4，
當x≤-1，y≥0時，x-y+2=0；
當x≤-1，y＜0時，x+y+2=0；
當-1＜x＜1，y≥0時，y=1；
當-1＜x＜1，y＜0時，y=-1；
當x≥1，y≥0時，x+y-2=0；
當x≥1，y＜0時，x-y-2=0．
條件②軌跡方程為：
|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=4，
當x≤-1，y≥1時，（x，y）=（-1，1）；
當x≤-1，-1≤y＜1時，x=-1；
當-1＜x＜1，y≥1時，y=1；
由對稱性可得其他部分圖形．
條件③：軌跡方程為：
|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=8，
當x≤-1，y≥1時，x-y+3=0；
當x≤-1，-1≤y＜1時，x+3=0；
當-1＜x＜1，y≥1時，y=3．
由對稱性可得其他部分圖形．
（3）如圖，滿足條件的格點有（-2，2），（-1，2），
（-2，1），（-1，1），（0，0），（1，-1），
（2，-1），（1，-2），（2，-2），
對于①，設P（x，y）滿足到A（-1，-1）、B（1，1）兩點
“直角距離”相等，
即滿足|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，
解得p∈{（x，y）|x+y=0，-1≤x≤1或x≤-1，y≥1或x≥1，y≤-1}，如圖．
對于②，設P（x，y）到C（-2，-2），D（2，2）兩點“直角距離”和最小，
即D_（PA）+D_（PB）=|x+2|+|y+2|+|x-2|+|y-2|
=|x+2|+|x-2|+|y+2|+|y-2|
≥|x+2+2-x|+|y+2+2-y|=8，
當且僅當-2≤x≤2且-2≤y≤2等號成立，
可得點P∈{（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2}．如圖
故同時滿足條件①②的格點的坐標是：
（-2，2），（-1，2），（-2，1），（-1，1），（0，0），
（1，-1），（2，-1），（1，-2），（2，-2）．

點評：本題考查格點坐標的求法，考查軌跡方程的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．