Question

已知數列{a_n}及其前n項和S_n滿足：a₁=3，S_n=2S_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）．  
（1）證明：設b_n=

Sn

2n

，{b_n}是等差數列； 
（2）求S_n及a_n．

Answer 1

（本題滿分14分）
（1）∵Sn-2Sn-1=2n
∴

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1（n≥2）…（4分）
設bn=

Sn

2n

則{b_n}是公差為1的等差數列        …（6分）
（2）又∵b1=

S1

2

=

a1

2

=

3

2

，
∴

Sn

2n

=n+

1

2

，
∴Sn=(n+

1

2

)2n…（9分）
當n≥2時，an=sn-sn-1=(2n+3)2n-2…（12分）
∴an=

3 (2n+3)2n-2

(n=1) (n≥2)

Sn=(n+

1

2

)2n…（14分）