Question

已知數列{a_n}及其前n項和S_n滿足：a₁=3，S_n=3S_n-1+3ⁿ（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明：設b_n=

Sn

3n

，{b_n}是等差數列； 
（2）求S_n及a_n；
（3）判斷數列{a_n}是否存在最大或最小項，若有則求出來，若沒有請說明理由．

Answer 1

分析：（1）S_n=3S_n-1+3ⁿ（n≥2）⇒

Sn

3n

-

Sn-1

3n-1

=1（n≥2），設b_n=

Sn

3n

，易證{b_n}是等差數列；
（2）利用等差數列的通項公式可求得

Sn

3n

=n，從而可得S_n，繼而可求a_n；
（3）由（2）知，a_n=（2n+1）3^n-1，易證

an

an+1

＜1，數列{a_n}為遞增數列，從而可知數列{a_n}有最小項，無最大項．

解答：解：（1）∵S_n=3S_n-1+3ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴S_n-3S_n-1=3ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴

Sn

3n

-

Sn-1

3n-1

=1（n≥2）．
設b_n=

Sn

3n

，則{b_n}是公差為1的等差數列．
（2）又∵b₁=

S1

3

=

a1

3

=1，
∴

Sn

3n

=b₁+（n-1）×1=n，
∴S_n=n•3ⁿ．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n+1）3^n-1，
又a₁=3滿足上式，
∴a_n=（2n+1）3^n-1，S_n=n•3ⁿ．
（3）∵

an

an+1

=

(2n+1)3n-1

(2n+3)3n

=

2n+1

3(2n+3)

＜1，
又a_n＞0，
∴a_n＜a_n+1，則數列{a_n}為遞增數列，
∴數列{a_n}有最小項，無最大項，此時最小項為a₁=3．

點評：本題考查等差關系的確定，考查等差數列的通項公式與數列的函數特性（單調性），考查推理與運算能力，屬于難題．