Question

已知數列{a_n}及其前n項和S_n滿足：a₁=3，S_n=2S_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）．  
（1）證明：設b_n=

Sn

2n

，{b_n}是等差數列； 
（2）求S_n及a_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1，即可證明
（2）由（1）可求s_n，然后利用n≥2時，a_n=s_n-s_n-1可求a_n

解答：（本題滿分14分）
解：（1）∵Sn-2Sn-1=2n
∴

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1（n≥2）…（4分）
設bn=

Sn

2n

則{b_n}是公差為1的等差數列        …（6分）
（2）又∵b1=

S1

2

=

a1

2

=

3

2

，
∴

Sn

2n

=n+

1

2

，
∴Sn=(n+

1

2

)2n…（9分）
當n≥2時，an=sn-sn-1=(2n+3)2n-2…（12分）
∴an=

3 (2n+3)2n-2

(n=1) (n≥2)

Sn=(n+

1

2

)2n…（14分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求通項公式及數列的遞推公式a_n=s_n-s_n-1的應用