Question

已知數列{a_n}滿足

a1=1 an=2an-1+1，n≥2

，求{a_n}的通項公式及其前n項和S_n．

Answer 1

分析：根據數列的遞推公式，利用構造法構造新數列滿足為等比數列，求出新數列的通項公式，再求數列{a_n}的通項公式．
在分組求數列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：∵當n≥2時，a_n=2a_n-1+1，∴a_n+1=2（a_n-1+1）

an+1

an-1+1

=2，∴數列{a_n+1}為等比數列，且公比為2，
又∵a₁=1，∴a₁+1=2
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1
S_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n

點評：本題主要考查了構造法求數列的通項公式，以及分組求和．