Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)=x³-ax²+bx-c=0有三個實根x₁，x₂，x₃，
(Ⅰ)類比一元二次方程根與系數的關系，寫出此方程根與系數的關系；
(Ⅱ)若a，b，c均大于零，試證明：x₁，x₂，x₃都大于零；
(Ⅲ)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x=α，x=β處取得極值，且-1＜α＜0＜β＜1，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，得x³-ax²+bx-c=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)，
比較兩邊系數，得a=x₁+x₂+x₃，b=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁，c=x₁x₂x₃；
(Ⅱ)證明：由c＞0，得x₁，x₂，x₃三數中或全為正數或一正二負，
若為一正二負，不妨設x₁＞0，x₂＜0，x₃＜0，
由x₁+x₂+x₃=a＞0，得x₁＞-(x₂+x₃)，
則x₁(x₂+x₃)＜-(x₂+x₃)²，
又b=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=x₁(x₂+x₃)+x₂x₃＜-(x₂+x₃)²+x₂x₃，
這與b＞0矛盾，所以x₁，x₂，x₃全為正數．
(Ⅲ)令f(x)=x³-ax²+bx-c，要f(x)=0有三個不等的實數根，則函數f(x)有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0，
由已知，得f′(x)=3x²-2ax+b=0有兩個不等的實根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴，
由①③，得b＞-3，
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1，將b=-1代入①③，得a=0，
∴f ′(x)=3x²-1，則，
且f(x)在處取得極大值，在處取得極小值，
故f(x)=0要有三個不等的實數根，則必須，得。