Question

證明：
（1）已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：x³+y³≥x²y+xy²，
（2）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2 ≥ 

1

3

．

Answer 1

分析：（1）用比較法證明不等式，（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²，分析符號可得結(jié)論．
（2）由題意得，1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），結(jié)論得證．

解答：證明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正實(shí)數(shù)，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
≤3（a²+b²+c²），∴a²+b²+c²≥

1

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)，等號成立．

點(diǎn)評：本題考查用比較法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，將式子變形是證明的關(guān)鍵．