Question

已知奇函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且當x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1．則f（log₂10）的值為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：先判斷log₂10的范圍，利用函數的周期為2轉化到區間（-1，0）內，再根據偶函數的定義和對數的運算性質求出f（log₂10）的值．

解答： 解：∵3＜log₂10＜4，∴-1＜-4+log₂10＜0，∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函數f（x）是以2為周期的奇函數，
∴f（log₂10）=f（-4+log₂10）=-f（4-log₂10），
∵當x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1，∴f（4-log₂10）=16×

1

10

-1=

3

5

，
即f（log₂10）=-

3

5

．
故答案為：-

3

5

點評：本題考查了函數奇偶性和周期性的應用，根據周期性把自變量的范圍轉化到與題意有關的區間上，再由奇偶性聯系f（x）=-f（-x），利用對數的運算性質求出函數值．