Question

15．（1）解方程4^x-2^x-2=0．
（2）求不等式 log₂（2x+3）＞log₂（5x-6）；
（3）求函數y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-4x}$，x∈[0，5）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用換元法化圓方程為一元二次方程求解；
（2）直接利用對數函數的單調性化對數不等式為一元一次不等式組求解；
（3）令u=x²-4x換元，由x得范圍求得u的范圍，再由指數函數的單調性得答案．

解答 解：（1）解：原方程可化為（2^x）²-2^x-2=0．
令2^x=t，則t＞0，所以t²-t-2=0，
解得t=2或t=-1（舍）．
由2^x=2解得x=1；
（2）原不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}{2x+3＞0}\\{5x-6＞0}\\{2x+3＞5x-6}\end{array}\right.$，解得$\frac{6}{5}$＜x＜3，
∴原不等式的解集為（$\frac{6}{5}，3$）；
（3）令u=x²-4x，x∈[0，5），則-4≤u＜5，
則$（\frac{1}{3}）^{5}＜y≤（\frac{1}{3}）^{-4}$，即$\frac{1}{243}＜y≤81$．
即值域為（$\frac{1}{243}，81$]．

點評 本題考查指數不等式與對數不等式的解法，訓練了利用換元法求指數型函數的值域，是中檔題．