Question

5．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是BC，A₁B₁的中點．
（1）求證：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）設M為AB上一點，且AM=$\frac{1}{4}$AB，若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均相等，求直線DE與直線A₁M所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點N，連結EN，DN，則DN∥AC，從而DN∥平面ACC₁A₁，再求出EN∥平面ACC₁A₁，從而平面DEN∥平面ACC₁A₁，由此能證明DE∥平面ACC₁A₁．
（2）作DP⊥AB于P，推導出∠DEP是直線DE與直線A₁M所成角，由此能求出直線DE與直線A₁M所成角的正切值．

解答 證明：（1）取AB中點N，連結EN，DN，
∵在△ABC中，N為AB中點，D為BC中點，
∴DN∥AC，
∵DN?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
∴DN∥平面ACC₁A₁，
∵在矩形ABB₁A₁中，N為AB中點，E為A₁B₁中點，
∴EN∥平面ACC₁A₁，
又DN?平面DEN，EN?平面DEN，
DN∩EN=N，∴平面DEN∥平面ACC₁A₁，
∵DE?平面DEN，∴DE∥平面ACC₁A₁．
解：（2）作DP⊥AB于P，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均相等，D為BC的中點，
∴DP⊥平面ABB₁A₁的所有棱長相等，D為BC的中點，
∴DP⊥平面ABB₁A₁，且PB=$\frac{1}{4}$AB，又AM=$\frac{1}{4}$AB，
∴MP=$\frac{1}{2}$AB，
∵A₁E=EP，A₁M=EP，
∴∠DEP是直線DE與直線A₁M所成角，
∴由DP⊥平面ABB₁A₁，EP?平面ABB₁A₁，得DP⊥EP，
設直線三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為a，
則在Rt△DPE中，DP=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，EP=A₁M=$\frac{\sqrt{17}}{4}$a，
∴tan∠DEP=$\frac{DP}{EP}$=$\frac{\sqrt{51}}{17}$．
∴直線DE與直線A₁M所成角的正切值為$\frac{\sqrt{51}}{17}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．