Question

4．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{2}，AC=\sqrt{2}，∠BAC={60°}$，則此球的體積等于（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{9π}{2}$
• C． $\frac{{5\sqrt{10}π}}{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$

Answer 1

分析 畫出球的內接三棱柱ABC-A₁B₁C₁，作出球的半徑，然后可求球的表面積．

解答 解：設AA₁=h，則
∵棱柱的體積為$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{2}，AC=\sqrt{2}，∠BAC={60°}$，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}h=\sqrt{3}$
∴h=1，
∵AB=2$\sqrt{2}，AC=\sqrt{2}，∠BAC={60°}$，
∴BC=$\sqrt{8+2-2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$，
如圖，連接上下底面外心，O為PQ的中點，OP⊥平面ABC，
AP=$\frac{\sqrt{6}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{2}$
則球的半徑為OA，
由題意OP=$\frac{1}{2}$，∴OA=$\sqrt{\frac{1}{4}+2}$=$\frac{3}{2}$，
所以球的體積為：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9}{2}$π
故選B．

點評 本題是基礎題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計算能力．