Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；

（2）設，求三棱錐A－BFE的體積．

 

 

Answer 1

（1）祥見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先證明AB⊥底面BDC，可得AB⊥CD，又DC⊥BC，從而證明DC⊥平面ABC．

（2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得S△AEB＝，代入體積公式VA?BFE＝VF?AEB＝S△AEB•FE進行運算可得答案．

試題解析：（1）證明：在圖甲中，∵且

∴ ,即 1分

又在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ，且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD． 3分

∵，∴DC⊥BC 4分

又由 5分

∴DC平面AB． 6分

（2）∵點E、F分別為AC、AD的中點∴EF//CD 7分

又由（1）知，DC平面ABC

∴EF⊥平面ABC 8分

于是EF即為三棱錐的高，∴ 9分

在圖甲中，∵, ∴,

由得 , 11分

∴∴ 12分

∴ 13分

（若有其他解法，可視情況酌情給分）

考點：１．直線與平面垂直的判定；２．柱錐臺的體積．