Question

若點（p，q）在|p|≤3，|q|≤3中按均勻分布出現．
（1）求方程x²+2px-q²+1=0有兩個實數根的概率；
（2）若f(x)=x2+2

3

x+2，p，q∈Z，試求方程log|p+1.5|

q2+q+1

3

=|f(x)|，當0＜|p+1.5|＜1時恰有兩個實根的概率．

Answer 1

分析：（1）作出題中不等式表示的正方形區域，算出其面積為36．方程x²+2px-q²+1=0有兩個實數根，利用根的判別式算出p²+q²≥1，得到滿足條件的區域為正方形內部且在單位圓外的陰影部分，算出其面積為36-π．最后利用幾何概型計算公式，可得所求概率；
（2）由一元二次不等式的解法，可得p、q∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，因此所有的（p，q）共有7×7=49個．再設y₁=log|p+1.5|

q2+q+1

3

，y₂=|f（x）|，利用函數圖象加以討論并結合對數的運算法則加以計算，可得符合條件“恰有兩個實根”的情況總共有8種，由此利用古典概型公式加以計算，即可得到所求概率．

解答：解：（1）|p|≤3，|q|≤3表示一個正方形區域，
如右圖所示，可得其面積為S=6×6=36．
若方程x²+2px-q²+1=0有兩個實數根，
則△=（2p²）-4（-q²+1）≥0，即p²+q²≥1，
相應的區域為正方形內部且在單位圓外，其面積為S₁=36-π，
即方程x²+2px-q²+1=0有兩個實數根的概率為P₁=

S1

S

=

36-π

36

．
（2）∵f(x)=x2+2

3

x+2=[x+（

3

+1）][x+（

3

-1）]，
（其中p、q∈Z）
∴p、q∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，
所有的（p，q）共有7×7=49個．
設y₁=log|p+1.5|

q2+q+1

3

，y₂=|f（x）|，
其中y₁ 表示一條與x軸平行或重合的直線，y₂表示的曲線如下圖所示．
要使得原方程有兩個實根，則y₁與y₂的圖象有且僅有2個交點，可得y₁=0或y₁＞1，
又∵0＜|p+1.5|＜1，∴-2.5＜p＜-0.5，得p=-2或p=-1．
①若y₁=0，則log|p+1.5|

q2+q+1

3

=0，可得

q2+q+1

3

=1，
即q²+q-2=0，解之得q=1或q=-2，
故符合方程有兩個實根的情況有（-2，1），（-2，-2 ），（-1，1），（-1，-2），共4種情況．
②若y₁＞1，則log|p+1.5|

q2+q+1

3

＞1，可得

q2+q+1

3

＜|p+1.5|，
即

q2+q+1

3

＜0.5，解之得q=-1或q=0，
故符合方程有兩個實根的情況有：（-2，-1），（-2，0 ），（-1，-1），（-1，0）有共4種情況．
綜上所述，符合方程有兩個實根的情況共有8種，
因此，方程log|p+1.5|

q2+q+1

3

=|f(x)|當0＜|p+1.5|＜1時恰有兩個實根的概率為P₂=

8

49

．

點評：本題主要考查幾何概型、古典概型的應用，考查了函數與方程的綜合應用等知識，屬于中檔題．用列舉法計算可列舉事件中的基本事件，運用等價轉化和數形結合的數學思想，是解決本題的關鍵．