Question

12．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{ax}$（a＞0）
（1）求函數f（x）的圖象在x=2處的切線方程；
（2）當a=1時，求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（2），f′（2），求出切線方程即可；（2）求出函數f（x）的導數，求出函數的單調區間，通過討論t的范圍求出函數在閉區間的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{ax}^{2}}$，f′（2）=$\frac{{e}^{2}}{4a}$，f（2）=$\frac{{e}^{2}}{2a}$，
故切線方程是：y-$\frac{{e}^{2}}{2a}$=$\frac{{e}^{2}}{4a}$（x-2），
即e²x-4ay=0；
（2）a=1時，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∵t＞0，∴t+1＞1，
t＜1時，f（x）在[t，1）遞減，在（1，t+1]遞增，
∴f（x）的最大值是f（t）或f（t+1），
t≥1時，f（x）在[t，t+1]遞增，
∴f（x）的最大值是f（t+1）．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．